Les courbes de Bézier sont des courbes polynomiales de degrés 2 ou 3, paramétriques décrites pour la première fois en 1962 par l’ingénieur français Pierre Bézier qui les utilisa pour concevoir des pièces d’automobiles à l’aide d’ordinateurs. On les utilise principalement pour les anticipations et lecture typographique (avec les caractères).  On parle aussi de courbe d’Hermite qui est quasiment équivalente, les termes ne sont pas les mêmes. La courbe de Bézier utilise des points de contrôles. C’est exactement la même chose que pour Hermite puisque ces points de contrôles permettent de recréer les tangentes.

          Une courbe de Bézier est une courbe paramétrée, c’est-à-dire qu’il y a un paramètre pour la décrire, ici le temps car c’est une courbe qui évolue. Donc ce n'est pas tout le temps y=f(x).
          Dans une courbe paramétrée, à chaque temps correspond un point du plan (dont l'abscisse et l'ordonnée sont en fonction du temps). Il faut imaginer un mobile qui se déplace dans le plan. En gardant une trace de sa position, on trouve une courbe.
Il y aura y=f(x)  quand la courbe admettra un seul point lorsque l'abscisse est fixée.

          La courbe de Bézier est la représentation d'un vecteur. Dans un logiciel vectoriel, elle est constituée de point d'ancrage et des poignées de direction qui permettent sa manipulation.

          Comme toute application affine, la courbe conserve les barycentres, c’est-à-dire un point central constitué à partir d’un ensemble d’autre (c’est un repère par rapport aux autres points) pour construire l'image que donne la courbe de Bézier. Cette dernière présente quatres points de contrôles déterminés par P1, P2, P3 et P4. L'image de la courbe de Bézier est alors la courbe de Bézier correspondant à ces points de contrôle.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          Imaginons que nous ayons un point P qui doive aller d’un point A à un point B en un temps t. La représentation la plus « évidente » que décrit l’ensemble des points P au cours du temps est un segment. C’est-à-dire tous les points se situant entre A et B sur la droite (AB).
          Maintenant, imaginons que nous souhaitons donner à notre point P une direction de départ et une direction d’arrivée. Comme si l’on disait: « Notre point doit aller de A à B mais au départ il va dans la direction de C et à l’arrivée il doit aller dans la direction de D ! ». Pour obtenir tous les points de la courbe, il faut faire varier t de 0 (auquel cas on obtient P1) à 1 (auquel cas on obtient P2).

          L’équation de la courbe de Bézier est paramétrique, c’est-à-dire que chaque point de la courbe est obtenu à partir d’une valeur de t variant dans l’espace [0 ; 1[, cela se dit d’une équation algébrique dans laquelle au moins l’un des coefficients dépend d’un paramètre extérieur.

          Il faut savoir quelle est la valeur de l’incrément (e) que l’on doit appliquer à t pour obtenir tous les points de la courbe. Il n’existe pas de valeur (e) idéale et permettant de parcourir tous les points de la courbe sans obtenir 2 fois le même point. En conclusion, la longueur du segment défini par P(t) et P(t + e) n’est pas constante. On doit donc se résoudre à choisir une valeur de (e) arbitraire. On ne trace alors des segments reliant P(t) à P(t + e).